Supermathematics and its Applications in Statistical Physics: Grassmann Variables and the Method of Supersymmetry

این متن مفاهیم ریاضی متغیرهای گراسمن و روش ابرتقارن را به مخاطبان گسترده‌ای از فیزیکدانان علاقه‌مند به استفاده از این ابزارها در سیستم‌های بی‌نظم و بحرانی و همچنین موضوعات مرتبط در فیزیک آماری ارائه می‌کند. بر اساس دوره ها و سمینارهای بسیاری که توسط نویسنده، یکی از پیشگامان در این زمینه برگزار شده است، به خواننده یک مقدمه سیستماتیک و آموزشی با موضوع ارائه شده است.

جبر و تجزیه و تحلیل متغیرهای گراسمن در این مقاله ارائه شده است. بخش اول. ریاضیات این متغیرها در یک مدل ماتریس تصادفی، انتگرال های مسیر برای فرمیون ها، مدل های دایمر و مدل Ising در دو بعد اعمال می شود. ابر ریاضیات - استفاده از متغیرهای رفت و آمد و ضد رفت و آمد در شرایط مساوی - موضوع بخش دوم است. ویژگی‌های ابربردارها و ابرماتریس‌ها، که شامل مولفه‌های رفت‌وآمد و گراسمن هستند، با جزئیات زیادی از جمله استخراج قضایای انتگرال بررسی می‌شوند. در بخش سوم، مدل های فیزیکی فوق متقارن در نظر گرفته شده است. در حالی که ابرتقارن برای اولین بار در فیزیک ذرات بنیادی به عنوان تقارن دقیق بین بوزون ها و فرمیون ها معرفی شد، معرفی رسمی اجزای فضا-زمان ضد جابجایی را می توان به مسائل فیزیک آماری تعمیم داد، و از آنجایی که حالت هایی با انرژی های برابر را به هم متصل می کند، راه خود را نیز پیدا کرده است. مکانیک کوانتومی.

چندین مدل در برنامه‌های کاربردی در نظر گرفته می‌شوند که پس از آن، نمایش مدل ماتریس تصادفی توسط مدل سیگما غیرخطی، تعیین چگالی حالت‌ها و همبستگی سطح به دست آمده است. در نهایت، رفتار لبه تحرک مورد بحث قرار می‌گیرد و شرح کوتاهی از ده کلاس تقارن بی‌نظمی، مدل‌های بی‌نظم دوبعدی، و ابربسون‌سازی ارائه می‌شود.

This text presents the mathematical concepts of Grassmann variables and the method of supersymmetry to a broad audience of physicists interested in applying these tools to disordered and critical systems, as well as related topics in statistical physics. Based on many courses and seminars held by the author, one of the pioneers in this field, the reader is given a systematic and tutorial introduction to the subject matter.

The algebra and analysis of Grassmann variables is presented in part I. The mathematics of these variables is applied to a random matrix model, path integrals for fermions, dimer models and the Ising model in two dimensions. Supermathematics - the use of commuting and anticommuting variables on an equal footing - is the subject of part II. The properties of supervectors and supermatrices, which contain both commuting and Grassmann components, are treated in great detail, including the derivation of integral theorems. In part III, supersymmetric physical models are considered. While supersymmetry was first introduced in elementary particle physics as exact symmetry between bosons and fermions, the formal introduction of anticommuting spacetime components, can be extended to problems of statistical physics, and, since it connects states with equal energies, has also found its way into quantum mechanics.

Several models are considered in the applications, after which the representation of the random matrix model by the nonlinear sigma-model, the determination of the density of states and the level correlation are derived. Eventually, the mobility edge behavior is discussed and a short account of the ten symmetry classes of disorder, two-dimensional disordered models, and superbosonization is given.