Analytic Function Theory of Several Variables: Elements of Oka’s Coherence

هدف این کتاب ارائه نظریه تابع تحلیلی کلاسیک چند متغیر به عنوان یک درس استاندارد در درس ریاضیات پس از یادگیری مواد اولیه (مجموعه ها، توپولوژی عمومی، جبر، یک متغیر مختلط) است. این شامل بخش‌های اساسی دو جلد Grauert–Remmert، GL227(236) (نظریه فضاهای Stein) و GL265 (قلم‌های تحلیلی منسجم) با کاهش سطح برای دانشجویان فارغ التحصیل مبتدی (در اینجا، قضیه تصویر مستقیم گراورت به مورد نقشه های محدود محدود می شود). هسته اصلی نظریه "همبستگی اوکا" است که توسط کیوشی اوکا یافت و اثبات شده است. این امر نه تنها در مطالعه تحلیل پیچیده و هندسه پیچیده، بلکه در حوزه وسیعی از ریاضیات مدرن ضروری است. در این کتاب، درست پس از یک فصل مقدماتی در مورد توابع هولومورفیک (فصل 1)، ما اولین قضیه انسجام Oka را برای توابع هولومورف در فصل اثبات می کنیم. 2. این ویژگی منحصر به فرد کتاب را در مقایسه با کتاب های دیگر در این زمینه مشخص می کند که در آن مفهوم انسجام بسیار دیرتر ظاهر می شود. کتاب حاضر، مشتمل بر 9 فصل، به بررسی کامل موارد زیر می پردازد: انسجام قفسه های هولومورفیک. توابع (فصل 2); قضیه اساسی اوکا–کارتان (فصل 4). انسجام نوارهای ایده آل زیر مجموعه های تحلیلی پیچیده (فصل 6). انسجام نوارهای نرمال سازی فضاهای پیچیده (فصل 6). قضیه تناهی گرائرت (فصل 7 و 8); قضیه اوکا برای حوزه های ریمان (فصل 8). تئوری های همومولوژی شیف و حوزه های هولومورفی نیز ارائه شده است (فصل 3 و 5). فصل 6 به تئوری زیر مجموعه های تحلیلی پیچیده می پردازد. فصل 8 به کاربردهای نتایج به دست آمده قبلی اختصاص داده شده است که قضیه Cartan-Serre's و قضیه جاسازی Kodaira را اثبات می کند. در فصل 9، توسعه تاریخی \"انسجام\" را مورد بحث قرار می دهیم. یافتن کتابی در این سطح که همه موضوعات فوق را به شیوه ای کاملاً مستقل بررسی کند دشوار است. در جلد حاضر، تعدادی از اثبات‌های کلاسیک بهبود یافته و ساده‌سازی شده‌اند، به طوری که مطالب برای دانشجویان تازه‌کار فارغ‌التحصیل به راحتی قابل دسترسی است.

The purpose of this book is to present the classical analytic function theory of several variables as a standard subject in a course of mathematics after learning the elementary materials (sets, general topology, algebra, one complex variable). This includes the essential parts of Grauert–Remmert's two volumes, GL227(236) (Theory of Stein spaces) and GL265 (Coherent analytic sheaves) with a lowering of the level for novice graduate students (here, Grauert's direct image theorem is limited to the case of finite maps).The core of the theory is "Oka's Coherence", found and proved by Kiyoshi Oka. It is indispensable, not only in the study of complex analysis and complex geometry, but also in a large area of modern mathematics. In this book, just after an introductory chapter on holomorphic functions (Chap. 1), we prove Oka's First Coherence Theorem for holomorphic functions in Chap. 2. This defines a unique character of the book compared with other books on this subject, in which the notion of coherence appears much later.The present book, consisting of nine chapters, gives complete treatments of the following items: Coherence of sheaves of holomorphic functions (Chap. 2); Oka–Cartan's Fundamental Theorem (Chap. 4); Coherence of ideal sheaves of complex analytic subsets (Chap. 6); Coherence of the normalization sheaves of complex spaces (Chap. 6); Grauert's Finiteness Theorem (Chaps. 7, 8); Oka's Theorem for Riemann domains (Chap. 8). The theories of sheaf cohomology and domains of holomorphy are also presented (Chaps. 3, 5). Chapter 6 deals with the theory of complex analytic subsets. Chapter 8 is devoted to the applications of formerly obtained results, proving Cartan–Serre's Theorem and Kodaira's Embedding Theorem. In Chap. 9, we discuss the historical development of "Coherence".It is difficult to find a book at this level that treats all of the above subjects in a completely self-contained manner. In the present volume, a number of classical proofs are improved and simplified, so that the contents are easily accessible for beginning graduate students.