The Euclidean Matching Problem

این پایان نامه مسئله تطبیق دوبخشی تصادفی اقلیدسی را مورد بحث قرار می دهد، به عنوان مثال، مسئله تطبیق بین دو مجموعه مختلف از نقاط که به طور تصادفی در دامنه اقلیدسی ایجاد می شوند. وجود هر دو محدودیت تصادفی و اقلیدسی باعث می شود که مطالعه خواص متوسط ​​راه حل بسیار مرتبط باشد. این پایان نامه تعدادی از نتایج شناخته شده را در مورد مسائل تطبیق و مشکلات تطبیق اقلیدسی بررسی می کند. سپس به ارائه یک راه حل کامل و کلی برای مسئله یک بعدی در مورد تابع های هزینه محدب می پردازد و علاوه بر این، یک رویکرد بالقوه برای میانگین هزینه تطبیق بهینه و اصلاحات اندازه محدود آن در حالت درجه دوم را مورد بحث قرار می دهد. توابع همبستگی نقشه تطبیق بهینه در حد ترمودینامیکی نیز تحلیل می‌شوند. در نهایت، با استفاده از یک رویکرد تابعی، پایان نامه یک دستورالعمل کلی برای محاسبه تابع همبستگی تطابق بهینه در هر بعد و در یک حوزه عمومی ارائه می‌کند.

This thesis discusses the random Euclidean bipartite matching problem, i.e., the matching problem between two different sets of points randomly generated on the Euclidean domain. The presence of both randomness and Euclidean constraints makes the study of the average properties of the solution highly relevant. The thesis reviews a number of known results about both matching problems and Euclidean matching problems. It then goes on to provide a complete and general solution for the one dimensional problem in the case of convex cost functionals and, moreover, discusses a potential approach to the average optimal matching cost and its finite size corrections in the quadratic case. The correlation functions of the optimal matching map in the thermodynamical limit are also analyzed. Lastly, using a functional approach, the thesis puts forward a general recipe for the computation of the correlation function of the optimal matching in any dimension and in a generic domain.