Maximum Principles and Geometric Applications

این تک نگاری مقدمه ای بر برخی از جنبه های هندسی و تحلیلی اصل حداکثر ارائه می کند. در انجام این کار، ابزارهای ریاضی و مبانی هندسی مورد نیاز برای توسعه اشکال مختلف جدیدی را که در فصل‌های اول کتاب ارائه شده‌اند، با جزئیات بسیار تجزیه و تحلیل می‌کند. به طور خاص، تعمیم اصل حداکثر Omori-Yau به کلاس گسترده ای از عملگرهای دیفرانسیل، و همچنین یک اصل حداکثر ضعیف متناظر و شکل باز و سهموی معادل آن به عنوان یک فرمول قوی تر ویژه دومی ارائه شده است.
در بخش دوم، توجه به طیف وسیعی از کاربردها، عمدتاً برای مسائل هندسی، و همچنین بر روی برخی سؤالات تحلیلی (به ویژه PDE) از جمله: هندسه زیرمنیفولدها، ابرسطحها در اهداف ریمانی و لورنتزی، سالیتون های ریچی، قضایای لیوویل، منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌های PDE از نوع Lichnerowicz و غیره.
اصول حداکثر و کاربردهای هندسی به سبکی آسان نوشته شده است که برای مبتدیان قابل دسترسی است. خواننده با ارائه دقیق برخی از موضوعات هندسه ریمانی که معمولاً در کتاب های درسی پوشش داده نمی شوند، راهنمایی می شود. علاوه بر این، بسیاری از نتایج و حتی شواهد نتایج شناخته شده جدید هستند و به مرزهای یک زمینه تحقیقاتی معاصر و فعال منجر می شوند.

This monograph presents an introduction to some geometric and analytic aspects of the maximum principle. In doing so, it analyses with great detail the mathematical tools and geometric foundations needed to develop the various new forms that are presented in the first chapters of the book. In particular, a generalization of the Omori-Yau maximum principle to a wide class of differential operators is given, as well as a corresponding weak maximum principle and its equivalent open form and parabolicity as a special stronger formulation of the latter.
In the second part, the attention focuses on a wide range of applications, mainly to geometric problems, but also on some analytic (especially PDEs) questions including: the geometry of submanifolds, hypersurfaces in Riemannian and Lorentzian targets, Ricci solitons, Liouville theorems, uniqueness of solutions of Lichnerowicz-type PDEs and so on.
Maximum Principles and Geometric Applications is written in an easy style making it accessible to beginners. The reader is guided with a detailed presentation of some topics of Riemannian geometry that are usually not covered in textbooks. Furthermore, many of the results and even proofs of known results are new and lead to the frontiers of a contemporary and active field of research.